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数学史话之分割与连续戴德金

出处:本站 责任编辑: 时间:2019-04-11 [ ] 查看全部评论

  库默尔在算术上的后继者应该就是本文的主角--德国数学家--戴德金了。和库默尔一样,戴德金也很长寿,并且跟库默尔最后10年完全隐居不同,戴德金可以说是工作到了最后一刻。正如朗道说的:戴德金是一个伟大时代的最后一位英雄。诚然,19世纪是数学大爆发的一个世纪,是创造精神和严格精神高度发扬的时代,它在继承了17、18世纪数学成就的基础上,又发展出了更多、更辉煌的成果。

  尤里乌斯·威廉·里夏德·戴德金于1831年出生在德国的不伦瑞克,和高斯是同乡,他的父亲是个法学教授。戴德金和很多普通的孩子一样,从小入学,从7岁到16岁,他都在家乡的中学读书,而且那时候他也没有表现出数学的天赋来。甚至,他更喜欢物理和化学,他认为数学只不过是科学的婢女而已。但是到他17岁时,他发现了很多物理学中的推理有无法解释的一些逻辑问题,于是他开始转向逻辑争议比较少的数学。1850年,戴德金进入哥廷根大学,师从斯特恩、高斯和韦伯,从他们手中,他学到了微积分、高等算术原理、最小二乘法、高等测地学和实验物理,这些知识对于他取得学位已经足够了,但是戴德金的目标是从事数学事业,所以他后来又不得不花了两年时间来刻苦学习椭圆函数、现代几何、高等代数和数理物理学。1852年,戴德金以一篇关于欧拉积分的短论文从高斯手中获得了博士学位。和黎曼一样,戴德金也在两年后得到了哥廷根大学一个不带薪俸的教师职位。戴德金在大学讲的是初等课程,但是在1856年开始,他开设了一门关于伽罗瓦方程理论的课,这是伽罗瓦理论第一次出现在大学课程中,戴德金是最早重视在代数和算术中群的概念的重要人物之一。戴德金26岁的时候去了苏黎世理工学院任职,5年后又回到了不伦瑞克工学院任教授,并在那里一直呆了50年。由于戴德金活得特别长寿(他活了85岁),以至于在他去世之前,整整一代学习分析学的学生都熟悉他的无理数理论,而他本人也成为了一个传说。1899年,《数学家年表》把他列为已于当年的9月4日去世的名单中,戴德金幽默地回了一封信给编辑:9月4日可能是正确的,但是1899年这个年份可能不太对。

  戴德金的研究领域十分广泛,与最广义的数的范畴都有紧密的联系,他最伟大的两项成就是:无理数理论和代数数。我们先来说第一个:无理数理论。我们在《第一次数学危机》中提到过,古希腊时候,毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现了第一个无理数,由于触犯了学派的宗旨,被投入到地中海中淹死了,但是无理数的问题本身并没有得到解决。如何来形容无理数,一直没有一个明确的定义。戴德金从连续性的要求出发,用有理数的分割来定义无理数,即戴德金分割。把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为无理的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。所谓的戴德金分割是指将一切有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和A,使得集合A中的每一个元素小于集合A中的每一个元素。集合A称为划分的下组,集合A称为划分的上组,并将这种划分记成AA。戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割。

  戴德金的另一个贡献在代数数方面。他研究过任意域、环、群、结构及模等问题,并在授课时率先引入了环(域)的概念,并给理想子环下了一般定义,提出了能和自己的真子集建立一对应的集合是无穷集的思想。在研究理想子环理论过程中,他将序集(置换群)的概念用抽象群的概念来取代,并且用一种比较普通的公式(戴德金分割概念)表示出来,比康托尔的公式要简化得多,并直接影响了后来皮亚诺的自然数公理的诞生。是最早对实数理论提出了许多论据的数学家之一。

  戴德金完全是高斯式的数学家,他总是依靠自己的头脑,而不是巧妙的符号表示和对公式的熟练运用来使自己前进的,戴德金是那种喜欢把概念放入数学的人,他喜欢创造性思想胜于枯燥无味的符号,因为数学存在得越久,就会变得越抽象,也越实际。

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